رمزنگاری به کمک خم های بیضوی و روش های زوج سازی مورد استفاده در آن

رمزنگاری برپایه ی زوج سازی به یک موضوع تحقیقاتی بسیار پرکاربرد تبدیل شده است. در این پایان نامه نگاشت های دوخطی یا زوج سازی ها را تعریف کرده و نشان می دهیم که این زوج سازی ها سیستم ها‎‎ی رمزنگاری با قابلیت های جدیدی ایجاد می کنند. از جمله کلیدهای اصلی در سیستم های رمزنگاری بر پایه ی زوج سازی‎‎‏، خم های بیضوی از درجه ی نشاندن کوچک‏، و زیرگروه های از مرتبه ی اول بزرگ می باشند. این خم های «خوش-تزویج» خیلی کمیاب بوده و نیازمند ساختارهای خاصی می باشند. ابتدا خلاصه ای از مباحث لازم در نظریه ی جبری اعداد و خم های بیضوی روی میدان دلخواه ‎$ ‎k‎ $‎ ارائه کرده و سپس حالت های خاص ‎$ ‎k=‎mathbb{c}‎‎ $‎ و ‎$ ‎k=‎mathbb{f}_p‎‎ $‎‎ ‎را بررسی می کنیم. پس از آن سیستم رمزنگاری کلید عمومی که برپایه ی سختی حل مسائل ریاضی مانند: مسأله لگاریتم گسسته، را مطالعه می کنیم. سختی این مسأله را روی خم های بیضوی با ارائه ی چند الگوریتم مانند «حساب راهنما» و «قدم کوچک و قدم بزرگ» بررسی می کنیم. در مطالعه ی نگاشت های دوخطی ابتدا رابطه ی آنها با مسأله ی لگاریتم گسسته در میدان های متناهی مطالعه شده است‏، و سپس نشان خواهیم داد که چگونه این نگاشت ها مسائل جدیدی در رمزنگاری ایجاد می کنند. برپایه ی این مسائل‏، می توان یک سیستم رمزنگاری بنا کرد. همچنین زوج سازی های ویل و تیت را تعریف کرده و الگوریتم میلر را برای محاسبه ی سریع آنها ارائه خواهیم کرد. قبل از بررسی زوج سازی ها‏، بخش یاب های توابع گویا را مورد مطالعه قرار می دهیم. همچنین به معرفی الگوریتم ‎$ ‎ m ‎mov‎ $‎ می پردازیم. این الگوریتم با استفاده از زوج سازی ویل مسأله ی لگاریتم گسسته روی یک خم بیضوی را به مسأله ای مشابه در گروه ضربی میدان متناهی تبدیل می کند. در خم های بیضوی ابربرجسته این الگوریتم خیلی سریع است و بنابراین بهتر است که این خم ها در سیستم های رمزنگاری مورد استفاده قرار نگیرند. در انتهای پایان نامه به معرفی روش «کوکس-پینچ» برای به دست آوردن خم های بیضوی خوش-تزویج و اول می پردازیم. همچنین نشان می دهیم که چگونه می توان از این روش برای تولید گروه های خوش -تزویج مرکب در خم های عادی استفاده کرد. ‎‎